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TRAYECTOS ATEMPORALES DE UN VIAJERO FRACTAL: ENSAYO SUSTENTADO EN EL LIBRO FRACTUS, FRACTA, FRACTAL DE VICENTE TALANQUER

 

Óscar Salamanca.  Mayo de 2010

Profesional en Estudios Literarios

Departamento de Estudios Literarios

Universidad Nacional de Colombia

 

Promotor de Lectura y Escritura

Red Capital de Bibliotecas Públicas de Bogotá - BibloRed

 

Correo electrónico: osalamanca1@gmail.com

 

 

 

Resumen

 

El presente texto de divulgación filosófica y matemática analiza la geometría fractal aplicada a diversas representaciones de la realidad, en relación con el problema de segmentación espacial que subyace a las paradojas planteadas por Zenón de Elea. A partir de los antecedentes de la geometría fractal, de su consolidación como ámbito de pensamiento conceptual y de sus definiciones más precisas, se establece un punto de comparación con el pensamiento de Zenón, en el que se asocia la perspectiva fractal de la realidad a la concepción de espacio sugerida por las paradojas del filósofo griego.

 

 

 

Abstract

 

This work of philosophical and mathematical popularization analyzes the geometry fractal applied to many representations of reality, through its relation with the problem of spatial segmentation from the paradoxes by Zenon. From the precedents of the geometry fractal, its consolidation as area of conceptual thought and its definitions, this work establishes a comparison between Zenon’s thought and fractal geometry, in which fractal perspective of reality is associated to the conception of space suggested by the paradoxes of the Greek philosopher.

 

 

 

Palabras claves: Fractal. Caos. Geometría. Paradojas.

 

Key words: Fractal. Chaos. Geometry. Paradoxes.

 

 

 

1. Fractales en los albores de occidente.

 

Hace 2.500 años el filósofo griego Zenón de Elea quiso demostrar que los múltiples cambios observados en la naturaleza no son sino apariencias que engañan a nuestros sentidos, y propuso con tal fin una serie de paradojas que refutan teóricamente la posibilidad del movimiento necesario para su existencia. La contradicción que revelan las paradojas consiste en que un móvil debe recorrer absolutamente todos los puntos de un segmento espacial antes de llegar a su destino, y como tal segmento puede dividirse un número infinito de veces, un cuerpo jamás logrará desplazarse sobre él, o bien se hallará en estado de reposo sobre cada uno de los puntos del segmento si consideramos que las unidades de tiempo pueden ser tan ínfimas como las espaciales. Zenón construyó estos elementos con el propósito de defender la teoría planteada por su maestro Parménides sobre la unidad e inmutabilidad del ser, e involucró así a las disciplinas de la filosofía y la matemática en un problema particularmente incómodo que durante mucho tiempo fue eludido o, en el mejor de los casos, resuelto de manera poco convincente[1].

 

Con la nueva perspectiva de los matemáticos del siglo XX, los cuales suelen concederle a Zenón el mérito de haber anticipado la posibilidad de la división hasta el infinito, principio que constituye la base del cálculo infinitesimal, las implicaciones del problema formulado por el filósofo han pasado de ser simples ejercicios especulativos a convertirse en un fundamento de aplicación científica. Fue desde 1903, año en el que Bertrand Russell publicó su obra Principios de la matemática, cuando comenzó a hacerse justicia; pero como el pensamiento humano avanza lentamente, hacia la misma época encontramos dos conceptos relacionados con la idea de divisibilidad infinita que en su momento no gozaron del favor de la comunidad matemática, pero con el paso del tiempo fueron revalorados e inclusive uno de ellos adquirió un carácter imprescindible en el estudio actual de esta disciplina. Se trata este último del concepto de conjunto, para el cual Georg Cantor formuló una teoría a finales del siglo XIX, gracias a cuyos principios podemos ceñir conceptualmente un número infinito de objetos a un espacio limitado o a una idea común a todos ellos. El segundo concepto no era propiamente tal en aquella época, a causa de que fue construido y definido con base en un término propio solamente hasta la década de 1970, pero podemos decir que en los primeros años del siglo XX ya recorría la mente de los matemáticos más progresistas bajo extrañas formas cuyos contornos se adivinaban pero no podían definirse con exactitud. Hablamos, por supuesto, de los fractales.

 

 

2. Vicisitudes y conquistas.

 

En su libro Fractus, fracta, fractal, Vicente Talanquer recuerda que las figuras agrupadas más tarde bajo el nombre genérico de fractales fueron relegadas durante mucho tiempo a la categoría de “monstruosidades geométricas” e “inaplicables divertimentos matemáticos”, hecho por el cual comparten la misma suerte de la teoría de los conjuntos, considerada en un principio como una curiosidad matemática demasiado abstracta. Pero la incomprensión que suele perseguir en sus primeros años a muchos descubrimientos importantes, en el caso de los fractales perduró hasta la década del 70 cuando Benoît Mondelbrot definió sus peculiaridades y el modo indicado de aplicarse a su estudio, fomentando así un interés que desembocó en la llamada “revolución fractal”, cuya paternidad se le atribuye. El interés de Mandelbrot por los fractales consiste, según la cita que incluye Talanquer en el segundo capítulo de su texto, en que pueden representar los cuerpos que se observan en la naturaleza con un grado de precisión que las figuras de la geometría clásica no alcanzan. Las curiosas “monstruosidades” que hace más de un siglo se asomaban tímidamente a los dominios de la matemática, hoy en día han logrado mover los cimientos de una vieja estructura euclidiana cuyas formas resultaron ser excesivamente ideales.

 

 

3. Pero, ¿qué son los fractales?

 

En teoría, un fractal es una figura geométrica que presenta autosimilitud a toda escala, longitud infinita y dimensión fraccionaria. Talanquer recoge estas tres propiedades básicas y las explica valiéndose de la curva de Koch, un fractal que posee un mecanismo de construcción muy sencillo. La curva de Koch, también llamada “copo de nieve”, se genera agregando a un triángulo equilátero otros triángulos semejantes sobre el tercio medio de sus lados y luego iterando (repitiendo) la operación infinitas veces sobre cada uno de los segmentos resultantes. La figura que se obtiene es autosimilar porque todo grado de amplificación de cualquiera de sus sectores revelará siempre triángulos semejantes al original; su longitud infinita se explica por su número infinito de sinuosidades, y su dimensión fraccionaria se descubre después de aplicarle la ecuación que determina la dimensión de un objeto y encontrar que la suya está entre 1 y 2, es decir, entre la línea y el plano. La distancia que media entre estas figuras de características tan peculiares y las figuras euclidianas es, ciertamente, más que considerable. Por un lado, las nuevas dimensiones fraccionarias no encajan en las clásicas dimensiones enteras y, por otro lado, se establece una relación no prevista entre el perímetro de una figura y el área que comprende, o entre el área de una superficie y el volumen que encierra. Talanquer da cuenta de esta particularidad al destacar el sorprendente equilibrio dimensional que le permite a la curva de Koch exhibir un perímetro de longitud infinita encerrando un área de extensión finita.

 

Para comprender mejor la sorpresa de Talanquer examinemos los argumentos expuestos por Eliézer Braun en su libro Caos, fractales y cosas raras. Braun describe la proporcionalidad que guardan las dimensiones de una figura euclidiana o regular, la cual consiste básicamente en que su perímetro elevado a una potencia entera es igual al área que comprende multiplicada por un número, o en que su área elevada a una potencia entera es igual al volumen que encierra elevado a una potencia entera y multiplicado por un número. La diferencia con las figuras fractales radica en que éstas no guardan la misma proporcionalidad porque sus dimensiones fraccionarias no vienen simplificadas en los tres exponentes enteros que representan las dimensiones clásicas. Si procedemos con rigor y aplicamos la ecuación a un fractal sustituyendo los exponentes por el valor exacto que indique su dimensión particular, veremos generarse lo imprevisto: los nuevos datos producen algo así como un quiebre de proporciones de donde emergen perímetros cuya longitud no corresponde al área que delimitan, o superficies cuya medida no concuerda con el volumen que encierran. Uno de los ejemplos que aduce Braun para ilustrar esta singularidad geométrica es el fractal denominado Triángulo de Sierpinski, cuyo mecanismo de construcción consiste en dividir un triángulo equilátero en otros cuatro de igual tamaño, suprimir luego el de la mitad, y repetir indefinidamente la misma operación en los triángulos restantes. La figura se compone de innumerables réplicas de sí misma que aumentan el valor de la suma de sus perímetros a medida que se reproducen, mientras el área total disminuye a causa de la sustracción de triángulos que se efectúa en cada iteración. El resultado final de este proceso desafía nuestra comprensión por cuanto significa que un área prácticamente nula puede tener un límite perimetral infinito. Pero aún más interesante puede ser el hecho de que esta clase de formas no es exclusiva del reino de las matemáticas abstractas, sino que forma parte de muchos organismos biológicos que aprovechan sus peculiaridades, como es el caso del cerebro de los mamíferos, sobre el cual comenta Braun que su excesiva superficie respecto del volumen que ocupa se explica por lo conveniente que resulta situar numerosas funciones en un espacio reducido. Figuras fractales como las examinadas hasta el momento constituyen anomalías desde una perspectiva euclidiana, y por esa razón se les ha agrupado bajo el calificativo de “patologías”.

 

 

4. Los alcances de Talanquer.

 

A través de un texto claro y sumamente explicativo que recoge ejemplos provenientes de diversas disciplinas, Vicente Talanquer introduce a sus lectores en el complejo mundo de los fractales desde una óptica que revela su creencia científica en un orden que subyace a todos los fenómenos de la naturaleza. Su concepción de la complejidad como eventual consecuencia de la iteración de un mecanismo sencillo, en analogía a la construcción de un fractal, es prueba de ello. Moisés José Sametband afirma en los preliminares de su libro Entre el orden y el caos que la contradicción platónica entre Ideas y Caos modela para el filósofo griego nuestro mundo “imperfecto, complejo”, y lo sitúa en un nivel intermedio; pues bien, para Vicente Talanquer son los fractales los que habitan este nivel intermedio por el cual se pasa del concepto de orden al reino del caos. Talanquer apoya eficazmente su conjetura en el diagrama de la ecuación de Verhulst que describe una dinámica de crecimiento poblacional. Isaac Schifter analizó detalladamente esta ecuación en La ciencia del caos como primer tramo de una exposición que ilustra la forma en que un sistema dinámico de carácter determinista puede convertirse, con el paso del tiempo, en un sistema caótico desde todo punto de vista impredecible; pero como la prioridad de Schifter no eran los fractales, asimiló las bifurcaciones que para ciertos valores presenta el sistema de Verhulst principalmente en su condición de rutas hacia el caos. Talanquer, en cambio, se detiene con más cuidado en las bifurcaciones del diagrama y observa que a cualquier escala de amplificación se repite la misma imagen. La deducción, por tanto, es contundente: los reinos del orden y el caos se enfrentan, y allí, justo en medio de ellos, justo en el límite, se encuentran esas figuras de naturaleza ambigua que llamamos fractales. Esa es la idea que transmite el libro de Talanquer, la de un universo fronterizo que oscila entre dos fuerzas cuya impetuosidad explota en fractales, fractales por todas partes.

 

 

5. Caminando con Zenón.

 

Llegados a este punto, es posible retomar con mayor criterio el problema planteado por Zenón. De hecho, podemos concebir los segmentos espaciales que plantea como estructuras autosimilares que se repiten en cualquier escala, sin temor alguno de caer en equivocación. O incluso, podemos imaginarlo a él, ¡al mismísimo Zenón de Elea!, recorriendo el perímetro infinito de una curva de Koch y corroborando con satisfacción que el desplazamiento es imposible. La geometría fractal da para esto y mucho más. En este terreno de la especulación podemos establecer numerosas e interesantes relaciones entre los fractales y las paradojas.

 

Para comenzar, la curva de Koch y la paradoja de la dicotomía pueden considerarse como variables que tienden a un límite cuando el número de períodos aumenta indefinidamente[2]. En efecto, el segmento que se divide en la mitad, y luego en la mitad de la mitad, hasta el infinito, tiende al valor 0 sin llegar a alcanzarlo jamás, aunque en cada iteración se acerque más a él; asimismo, el área de una curva de Koch se puede acercar cada vez más a un valor sin llegar a alcanzarlo jamás, puesto que en cada iteración los triángulos se reproducen pero a la vez se repliegan sobre sí mismos. En ambos casos los límites no se alcanzan porque las estructuras se desplazan progresivamente en escalas menores a medida que avanzan.

 

Si de aventurar nuevos manejos de la paradoja se trata, podríamos resolverla mediante una concepción fractal de la estructura de los cuerpos: salvarían distancias gracias a una suerte de “engranaje fractal” que los pone en contacto con otros cuerpos y con el espacio que atraviesan. Sin este “engranaje” fractal el movimiento no sería posible, pues los cuerpos recorrerían infinitamente las divisiones y subdivisiones entre dos puntos cualesquiera sin lograr nunca un avance. Zenón caminaría sobre una curva semejante a la de Koch repitiendo siempre la misma secuencia sin llegar nunca a su destino. El “engranaje” actúa a modo de ruedas cuyas infinitas sinuosidades y prolongaciones se encajan en un camino cuya superficie es de una naturaleza semejante, o incluso idéntica, permitiendo así el avance y originando el movimiento.

 

Para terminar, a la idea de un “movimiento fractal” podríamos añadir la de un “crecimiento fractal” de los seres vivos tanto en su condición de individuos como en su condición de especies. Un organismo, más allá de la diferencia estructural y funcional de sus miembros, es el resultado de numerosas iteraciones de una información contenida en su material genético; y los genes que transmite, como los fractales, son “objetos que en sus detalles se repiten a sí mismos” (Talanquer 1996).

 

 

6. La realidad: ¿una cuestión de nomenclatura?

 

Nuestros instrumentos de medición por lo general calculan distancias directas, no trayectos, lo cual explica la dificultad práctica de calcular el valor exacto para longitudes como la que recorre una partícula browniana en un intervalo cualquiera de tiempo; cabría preguntarse, por ejemplo, si realmente un fotón se mueve a una velocidad aproximada de 300.000 kilómetros por segundo. Sin embargo, esta incertidumbre nos obliga a elaborar convencionalismos que aceptamos y con los cuales, de alguna manera, convivimos. Es el caso de la longitud de las costas terrestres para las cuales se calcula un valor convencional casi siempre con efectos territoriales desde una perspectiva política, ya que su valor exacto jamás llegará a conocerse, no tanto por las razones que aduce Mandelbrot sobre la imposibilidad de medir todas sus sinuosidades, sino porque, aunque esto se lograra, no podría concebirse la posibilidad de que las partículas de agua permanecieran completamente inmóviles para que así la medición “exacta” se mantuviera vigente a cada segundo. Otro convencionalismo muy útil en nuestra cotidianeidad es el lenguaje. Para nadie es un secreto que el lenguaje articulado es una forma de representar el mundo. El problema consiste en que a veces le otorgamos ese carácter de absoluto que no responde a la condición insignificante de sus inventores. Y como lo absoluto muy pocas suele ser objetado, concedemos autoridad vitalicia a ciertos términos cuyos equívocos son evidentes. Para efectos médicos está muy bien que una patología que nos aqueja sea localizada y eliminada, pero si lo que pretendemos es examinar objetivamente el universo, convendremos en que la misma cualidad de amenaza reviste un virus para nosotros, como para él los anticuerpos que lo atacan. Pero existen ciertos términos cuyo despotismo es particularmente exacerbante, como es el caso de “anormal” y todos sus derivados. Los fractales se consideran anomalías pese a que, como ya muchos científicos han demostrado, abundan en la naturaleza. Los guardianes de la “norma” se asemejan en este sentido al conductor de un automóvil que transita por una vía y afirma con un convencimiento inexplicable que los centenares de automóviles que transitan en la dirección opuesta van en contravía. Las anomalías de los fractales les han merecido el calificativo, claramente despectivo, de “patologías”. Se me ocurre preguntar entonces por el nombre que corresponde a quienes nos dedicamos a su estudio; ¿”patólogos” acaso? O por el nombre de los agentes causantes de la “enfermedad”; ¿”patógenos”? Pero sobre todo pregunto ¿de qué enfermedad estamos hablando?

 

 

 

 

 

 

 

 

BIBLIOGRAFÍA:

 

Aristóteles. Física. Ed. de Guillermo R. de Echandía. Madrid: Gredos, 1995.

 

Braun, Eliécer. Caos, fractales y cosas raras. México: Fondo de Cultura Económica, 1996.

 

Sametband, Moisés José. Entre el orden y el caos: La complejidad. México: Fondo de Cultura Económica, 1999.

 

Schifter, Isaac. La ciencia del caos. México: Fondo de Cultura Económica, 1996.

 

Talanquer, Vicente. Fractus, fracta, fractal. México: Fondo de Cultura Económica, 1996.

 

Aritmética teórico-práctica A. Baldor. Madrid: Ediciones Códice, 1982.


 

[1] Es el caso de Aristóteles, por cuyo testimonio en Física VI, 9 han llegado hasta nosotros las Paradojas de Zenón de Elea.

[2] Para este uso del término “variable”, véase Aritmética teórico- práctica A. Baldor, p. 338.

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